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共邊共角型相同三角形（父子三角形）的定義及基本性質(zhì)

三個角分別相等，三邊成比列的兩個三角形稱作相同三角形。本文介紹的共邊共角型相同三角形（父子三角形）是一種特殊的重要的相同三角形模型，熟悉并記住該模型及其相關(guān)推論對中學(xué)幾何知識的學(xué)習(xí)具備挺好的借鑒價值。

一、定義：如圖1，三角形ABC與三角形ACD有一條公共邊AC和一個公共角∠A，那樣的兩個三角形稱作共邊共角三角形。假如兩個三角形又有一個角對應(yīng)相等（∠ABC=∠ACD），則兩個三角形相近，這么那樣的兩個三角形稱為共邊共角型相同三角形。這兩個三角形互相相同，因為小三角形ACD亦即大三角形ABC中，仿似子依母懷，又小三角形與大三角形互相相同，如同父子形似，故形象地稱為“母子三角形”。

二、性質(zhì)定律：我們可以將“母子三角形”分為普通“母子三角形”和直角“母子三角形”。

1.普通“母子三角形”為精典“母子三角形”（圖1），△ABC∽△ACD，三角形對應(yīng)邊成比列，可得出如下推論：

①線段平方：AC2=AD·AB與三角形有關(guān)的線段，即公共邊是夾公共角的另一條對應(yīng)邊的比列中項。

②比值：AD/AB=CD2/BC2，由于S△ACD/△ABC=AD/AB（兩三角形高相等），相同三角形面積比又等于相同比的平方，CD/BC為△ACD和△ABC的相同比。

③其他等積式：AC·CD=AD·BC；AC·BC=AB·CD。

以上推論通常不能在幾何題中直接使用，應(yīng)當(dāng)先證明三角形相近。遇見改錯題時假如就能靈活應(yīng)用，則可以提高解題效率。

2.直角“母子三角形”是共邊共角型相同三角形的特殊方式，其所得推論即為射影定律的推論與三角形有關(guān)的線段，圖形特性就是直角三角形及其底邊上的高所組成的三個兩兩相似的直角三角形，其中包含的線段關(guān)系也可用下述方程表示（圖2）。

線段平方：AB2=AH·AC；BC2=HC·AC；BH2=AH·HC，此即射影定律的三個精典公式。何謂射影，就是正投影。直角三角形射影定律（又叫歐幾里德定律）可詳述為：直角三角形中，底邊上的高是兩直角邊在底邊上射影的比列中項；每一條直角邊是這條直角邊在底邊上的射影和底邊的比列中項。比值：AH/AC=BH2/BC2；CH/CA=BH2/AB2；AH/HC=AB2/BC2；

1/AB2+1/BC2=1/BH2，將上述線段平方值代入即可證明。

3.其他等積式：AB·BC=AC·BH；AB·BH=BC·AH；AB·HC=BC·BH。

熟悉了共邊共角型相同三角形（父子三角形）的定義及基本性質(zhì)后，遇見證明某線段的平方等于另兩條線段的積時，聯(lián)想到該模型能及時找到解題思路而迅速解題。