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3.等比數(shù)列求和公式證明推論

一。從通項(xiàng)公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項(xiàng)和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項(xiàng)為0。

二。從等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…

=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}

三。若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)=

(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…成等比數(shù)列，等等。

若m+n=2p,則a(m)+a(n)=2*a(p)

(對(duì)3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n)

p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q);由于m+n=p+q，因此p(m)+p(n)=p(p)+p

(q))

其他推測(cè)

①和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2

(證明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2

(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n))

證明原理見(jiàn)高斯算法

項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差+1

(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)

②首項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-末項(xiàng)或末項(xiàng)-公差×(項(xiàng)數(shù)-1)

③末項(xiàng)=2x和÷項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)

(以上2項(xiàng)為第一個(gè)結(jié)論的轉(zhuǎn)化)

④末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)×公差

(上一項(xiàng)為第二個(gè)結(jié)論的轉(zhuǎn)化)

推測(cè)3證明

若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)

+a(q)

如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d

=2*a(1)+(m+n-2)*d

同理得，

a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d

又由于

m+n=p+q;

a(1),d均為常數(shù)

因此

若m，n，p，q∈N*等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)

若m，n，p∈N*，且m+n=2p，則有a(m)+a(n)=2a(p)

注：1。常數(shù)列不一定創(chuàng)立

2。m,p,q,n屬于自然數(shù)

⑤2(前2n項(xiàng)和-前n項(xiàng)和)=前n項(xiàng)和+前3n項(xiàng)和-前2n項(xiàng)和