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1.適用條件

【一條直線通過一個焦點】奇函數f0一定等于0嗎，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A是直線與焦點所在軸線的夾角，為銳角。x是分離比，必定大于1。

注：以上公式適用于所有圓錐曲線。若焦點在內（即焦點在它所截的線段上），則用此公式；若焦點在外（即焦點在它所截的線段的延長線上），則右邊為(x+1)/(x-1)，其余不變。

2.函數周期問題（記住三點）

（1）若f（x）=-f（x+k），則T=2k；

（2）若f（x）=m/（x+k）（m不為0），則T=2k；

（3）如果 f(x)=f(x+k)+f(xk)，則 T=6k。

注意事項：a. 對于周期函數，周期必須是無限的。b. 周期函數可能沒有最小周期，比如常數函數。c. 周期函數加周期函數可能不是周期函數，比如：y = sinxy = sinx加x不是周期函數。

3.關于對稱性問題（無數人不明白的問題），總結如下

（1）若在 R 上（下同），f(a+x)=f(bx)恒成立，則對稱軸為 x=(a+b)/2

（2）函數 y = f (a + x) 和 y = f (bx) 的圖形關于 x = (ba)/2 對稱；

（3）如果 f(a+x)+f(ax)=2b，則 f(x) 的圖形關于中心 (a, b) 對稱。

4. 函數奇偶校驗

（1）對于 R 上的奇函數，f(0)=0；

（2）對于有參數的函數，奇函數沒有偶數階項，偶函數沒有奇數階項

（3）奇偶校驗用處不大，一般用于多項選擇題的填寫。

5.數列爆發力規律

（1）在等差數列中：Sod=na，例如S13=13a7（13和7為下標）；

（2）在等差數列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)構成等差數列。

（3）在等比數列中，當公比不為負1時，上述兩項是等比的，但當q=-1時，這可能不成立。

（4）等比數列爆炸公式：

S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以快速找到q

6. 數列的終極武器，特征根方程

首先介紹一下公式：對于an+1=pan+q（n+1為下標，n為下標），

如果已知a1，則特征根x=q/(1-p)，則級數的通式為an=(a1-x)p2(n-1)+x，這是一階特征根方程的應用。

第二階有點復雜，不常用。所以我就不詳細講了。希望大家記住上面的公式。當然，這種序列也可以構造（同時在兩邊添加數字）

7.附加功能說明

（1）復合函數的奇偶性：內部為偶函數，為偶函數；內部為奇函數，為奇函數；外部為偶函數，為偶函數。

（2）復合函數的單調性：增加相同，減少不同

（3）三次函數重點知識：恐怕很多人不知道，三次函數曲線其實是一種中心對稱圖形。

它有一個對稱中心，方法是求二階導數，導數為0，根x為中心橫坐標，縱坐標可代入原函數定義，此外一定有一條唯一直線通過中心，且與兩邊相切。

8.常用數列bn=n×(22n)和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2記憶法

前面減1，后面加1，最后加上2。

9. 適用于標準方程的爆炸強度公式（重點關注x軸）

k 橢圓=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k 雙={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k 拋=p/yo

注意：（xo，yo）是通過圓錐曲線的直線所截取的線段的中點。

10. 強烈推薦一個使兩條直線垂直或平行的特殊技巧

給定直線 L1：a1x+b1y+c1=0 直線 L2：a2x+b2y+c2=0

如果它們垂直：（必要充分條件）a1a2+b1b2=0；

如果它們平行：（必要充分條件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1

（這個條件是為了防止兩條直線重合）

注意：以上兩個公式避免了斜率是否存在的困擾，是必殺技！

11. 經典中的經典

我相信大家都知道相鄰項會互相抵消。

我們來看看替代條款的取消：

為了

Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1 /(n+1)-1/(n+2)]

注意：每隔一項添加一次，保留四項，即前兩項和后兩項。自己在草稿紙上寫下公式，會顯得干凈整潔！

12.爆炸強度面積增量公式

S=1/2|mq-np|其中向量 AB=(m,n)，向量 BC=(p,q)

注：此公式可以解決已知三個點求三角形面積的問題

13.你知道嗎？空間立體幾何中：下列命題都是錯誤的

（1）空間中三個不同的點確定一個平面

（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行

（3）有兩對邊相等的四邊形是平行四邊形

（4）如果一條直線與平面內無數條直線垂直，那么這條直線垂直于該平面。

(5) 棱柱是具有兩個平行面，其余面為平行四邊形的幾何立體。

（6）一個面為多邊形，其他面均為三角形的幾何立體體是金字塔。

注：不適用于初中生。

14. 一點知識

所有邊長度相等的金字塔可以是三面金字塔、四面金字塔或五面金字塔。

15. 求 f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|xn| 的最小值（n 為正整數）

答案是：當n為奇數時，最小值為(n2-1)/4，即當x=(n+1)/2時所得；

當 n 為偶數時，最小值為 n2/4，即 x=n/2 或 n/2+1 時所得值。

16.

√〔(a2+b2)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b均為正數，且定義域相同)

17.橢圓焦點三角形的面積公式

S = b2tan(A/2) 在雙曲線中：S = b2/tan(A/2)

注：適用于焦點在 x 軸上的標準圓錐曲線。A 是兩個焦點半徑之間的角度。

18.爆炸定理

三個空間向量公式可以解決所有問題：cosA=|{向量 a.向量 b}/[向量 a 的模數 × 向量 b 的模數]

（1）A 是線與線之間的角度

（2）A 為線與面的夾角（但公式中 cos 被 sin 代替）

（3）A 為面間夾角。注：以上夾角范圍為[0, pie/2]。

19. 爆發力公式

12+22+32+…+n2=1/6(n)(n+1)(2n+1)；123+223+323+…+n23=1/4(n2)(n+1)2

20.爆炸強度切線方程的記憶方法

寫成對稱形式，改變 x，改變 y

例如：y2=2px 可以寫成 y×y=px+px

將 (xo, yo) 代入其中一個，我們得到：y×yo=pxo+px

21.爆炸定理

(a+b+c)2n 展開式的項數 [合并后] 為：Cn+22，n+2 在底部，2 在頂部

22.轉變思維

切線長度l=√(d2-r2)d表示圓外某點到圓心的距離，r為圓的半徑，d為圓心到直線的最小距離。

23. 對于 y2=2px

通過焦點的兩條垂直弦AB、CD的和至少為8p。

爆炸定理的證明：對于 y2=2px，讓通過焦點的弦的傾斜角為 A

則弦長可表示為2p/〔(sinA)2〕，因此垂直于它的弦長為2p/[(cosA)2]

因此可以根據三角知識找到總和。

（題目的意思是，弦AB過焦點，CD過焦點，AB垂直于CD）

24. 一個重要的絕對值不等式的介紹

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25. ln不等式證明問題的思路

例子：證明 1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)

將左側視為 1/n 的總和，將右側視為 Sn。

解開：

令 an = 1/n貝語網校，令 Sn = ln(n+1)，則 bn = ln(n+1)-lnn，

那么我們只要證明an>bn，并根據定積分的知識畫出y=1/x的圖形就可以了。

an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然，我們先要證明1>ln2。

注：僅供有能力的同學參考！！另外此方法可以推廣，就是把左右兩邊看成一個級數的和，就可以驗證面積了。注：前提是含有ln。

26. 爆發力的簡單公式

向量 a 在向量 b 上的投影是：[向量 a × 向量 b 的標量積]/[向量 b 的范數]。

記憶方法：哪里投影，用哪里除以

27.解釋一個容易犯錯的點

若f(x+a)[任意a]為奇函數，則結論為f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右邊不為-f(-xa)〕

類似地，如果 f(x+a) 是偶函數，我們可以得到 f(x+a)=f(-x+a)。記住

28.偏心爆炸強度公式

e=sinA/(sinM+sinN)

注：P為橢圓上的一點，A為角F1PF2，兩個邊角分別為M和N

29、橢圓的參數方程也是一個很好的東西，可以解決一些極值問題。

例如x2/4+y2=1，求z=x+y的最大值。

解決方案：讓 x = 2cosay = sina，然后使用有界三角形。這比轉到 = 0 要快很多倍！

30.爆發力公式僅供有能力的朋友參考

和與差積

sinθ+sinΦ=2sin[(θ+Φ)/2]cos[(θ-Φ)/2]sinθ-sinΦ=2cos[(θ+Φ)/2]sin[(θ-Φ)/2]cosθ+ cosΦ=2cos[(θ+Φ)/2]cos[(θ-Φ)/2]cosθ-cosΦ=-2sin[(θ+Φ)/2]sin[(θ-Φ)/2]

產品與差異

sinαsinβ=[cos(α-β)-cos(α+β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α- β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

31.爆炸定理

直觀圖形的面積是原圖形的√2/4倍。

32.三角形垂心爆炸定理

（1）向量 OH = 向量 OA + 向量 OB + 向量 OC （O 為三角形的外心，H 為三角形的垂心）

（2）如果三角形的三個頂點在函數y=1/x的圖形上，那么它的垂心也在這個函數的圖形上。

33.維維亞尼定理

等邊三角形內部（或邊界上）任一點到三邊的距離之和是一個常數，等于三角形的高。

34.爆炸性思維

如果兩個根的乘積 x1x2=m，則兩個根的和 x1+x2=n

我們應該形成一個想法，那就是回去構造一個二次函數

然后利用大于等于0的△就可以得到m和n的范圍。

35. 共同結論

過 (2p, 0) 的直線與拋物線 y2=2px 在點 A 和 B 相交。

O為原點奇函數f0一定等于0嗎，連接AO.BO。必有一個角AOB=90度

36. 爆發力公式

ln(x+1)≤x(x>-1)這個公式可以有效地解決不等式的證明問題。

例如：ln(1/(22)+1)+ln(1/(32)+1)+…+ln(1/(n2)+1)

證明如下：設 x = 1/(n2)，根據 ln(x+1)≤x，左右兩邊可累加，右邊為

然后將其放大：左和

37.函數 y=(sinx)/x 是偶函數

它在 (0, pie) 上單調遞減，在 (-pie, 0) 上單調遞增。

上述屬性可用于比較大小。

38. 函數

y=(lnx)/x 在 (0, e) 上單調增加，在 (e, +infinity) 上單調減少。

此外，y=x2(1/x)與函數的單調性一致。

39. 數學中常見的幾個錯誤

（1）f`（x）

（2）在研究函數奇偶性時，我們忽略了第一步也是最重要的一步：考慮定義域是否關于原點對稱。

（3）應用不等式時，必須考慮“=”符號是否

(4) 研究序列問題時，一般不考慮子項，也就是說，有時首項并不符合通式，所以，在研究序列問題時，要特別注意是否需要子項化！

40.提升計算能力的五個步驟

（1）扔掉你的計算器

（2）認真看題（建議慢慢看題，快速做題），如果不認真看題，算得再多也是白算。

（3）記住常見數據，掌握一些快速計算的技巧

（4）加強心算和估算能力

（5）檢查

41. 絕妙的配方

已知三角形AB=a，AC=b，O為三角形的外心。

則向量AO×向量BC（即標量積）=（1/2）[b2-a2]

證明：通過 O 畫一條垂直線 BC，并將其變換為已知邊

42. 功能

① 函數單調性的意義：大部分同學都知道，如果一個函數在區間D上是單調的，那么函數值隨著自變量的增大（減小）而增大（減小），但有的同學可能不理解。顯然，如果一個函數在D上是單調的，那么它一定是連續的（分段函數另當別論）。這也解釋了為什么我們不能說y=tanx在定義域上是單調遞增的，因為它的圖形被無窮漸近線擋住了，換句話說，是不連續的。還有，如果函數在D上是單調的，那么該函數在D上y和x之間存在一一對應關系。這可以用來解一些方程。

② 函數周期性：這里主要總結一些函數方程表達的周期性。設f(x)是R上的函數。對任意x∈R

（1）f（a±x）=f（b±x）T=（ba）（加絕對值，下同）

（2）f（a±x）=-f（b±x）T=2（ba）

（3）f（xa）+f（x+a）=f（x）T=6a

（4）設T≠0，則f（x+T）=M[f（x）]，其中M（x）滿足M[M（x）]=x且M（x）≠x。則函數的周期為對于2

43.奇函數和偶函數概念的推廣

（1）對于一個函數f(x)，若存在一個常數a使得f(ax)=f(a+x)，則稱f(x)為廣義（I）型偶函數，又若有兩個不同實數a和b滿足時，則f(x)為周期函數T=2（ba）

（2）若 f(ax) = -f(a+x)，則 f(x) 為廣義（I）型奇函數。若有兩個不同的實數 a 和 b 滿足，則 f(x) 為周期函數。函數 T = 2(ba)

44.函數對稱性

（1）如果 f(x) 滿足 f(a+x)+f(bx)=c，則該函數關于 (a+b/2, c/2) 中心對稱。

（2）如果 f(x) 滿足 f(a+x)=f(bx)，則該函數關于直線 x=a+b/2 軸對稱。

柯西函數方程：若 f(x) 是連續的或單調的

（1）若 f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)，則 f(x)=㏒ax

（2）若 f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0)，則 f(x)=x2u（u 由初始值給出）

（3）f(x+y)=f(x)f(y) 則 f(x)=a2x

（4）如果 f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，則 f(x)=ax2+bx（5）如果 f(x+y)+f(xy)=2f( x)，則 f(x)=ax+b。特別地，如果 f(x)+f(y)=f(x+y)，則 f(x)=kx

45.與三角形有關的定理或結論初中數學平面幾何中最基本的圖形是三角形

①任意三角形投影定理（又稱第一余弦定理）：

△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC；c=acosB+bcosA

② 任意三角形的內切圓半徑為r=2S/a+b+c（S為面積），外切圓半徑均應已知。

③墨涅拉奧斯定理：設A1、B1、C1分別為△ABC的三邊BC、CA、AB所在直線上的點，則A1、B1、C1共線的充分必要條件為CB1/B1A·BA1/A1C AC1/C1B=1

46. 錯誤點

（1）函數各種性質的綜合應用不夠靈活，例如奇偶性和單調性常被用來解決抽象函數不等式問題；

(2)三角恒等式變換不清晰，導出公式不快。

（3）忽略三角函數的有界性和三角形中角的極限。例如，在三角形中，不可能有兩個角同時有負正切。

（4）三角形的平移變換不清晰。解釋：從y=sinx到y=sinwx的步驟是將橫坐標變為原來的1/∣w∣倍

（5）對數列進行求和時，經常用到偏移減法，但由于粗心大意，總是計算錯誤。

解決方法：在寫第二步的時候，提出公差，將等比級數求和放在括號里，最后去掉系數；

（6）序列中常見的變換公式不清楚，如：an=1/[n(n+2)]的和保留四項

（7）該序列沒有考慮a1是否符合sn-sn-1得到的通式；

（8）序列不是所有實數的簡單函數，即在求導的過程中要注意問題是否得到序列的最大值。

（9）向量運算與代數運算并不完全等價；

（10）計算向量模時，忘記在求平方后取平方根。

比如這種選擇題，經常會出現2，√2這個答案，基本上就應該選√2，選2的原因是2沒有平方根。

（11）復數的幾何意義不明確

47.關于輔助角公式

asint+bcost=[√(a2+b2)]sin(t+m)其中 tanm=b/a[條件：a>0]

注意：有的同學習慣考慮sinm或者cosm來確定m，我個人認為這樣太容易犯錯誤了。

最好的方法是根據 tanm 確定 m。（見上文）。

例如：sinx+√3cosx=2sin(x+m)，

因為tanm=√3，所以m=60度，所以原公式=2sin(x+60度)