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彭錫成

華中師范大學(xué)國(guó)家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心, 武漢 430079

張殿周和鄒一新老師在《現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)》的序言中有這樣的討論：我們?cè)趲煼对盒Ｈ谓潭嗄?，深感名列前茅，不一定就名列前茅。自然墊底。 大學(xué)課程只教授學(xué)科知識(shí)本身，而中學(xué)中與實(shí)際情況相關(guān)的任務(wù)往往被認(rèn)為是繁瑣而忽視的。 例如，當(dāng)我們談?wù)搶?shí)變函數(shù)理論時(shí)，我們談?wù)摾肇惛駵y(cè)度和勒貝格積分，但我們不屑于談?wù)摐y(cè)度、面積和體積之間的內(nèi)在關(guān)系。 對(duì)于中學(xué)教師來(lái)說(shuō)，或許后者才是至關(guān)重要的。 生活在“最高衡量標(biāo)準(zhǔn)”、處于“區(qū)域”之下，是需要付出一些努力的。 序言中還寫(xiě)到：盡管稿子是這樣寫(xiě)的，但我還是覺(jué)得有很多不足之處，尤其是與中學(xué)的聯(lián)系不夠緊密，對(duì)申請(qǐng)方面的介紹也不夠。

這些話雖然是謙虛的話，但也啟示我們要注重應(yīng)用和案例。 這就是我個(gè)人所做的。 當(dāng)我看到初等數(shù)的問(wèn)題時(shí)，我希望將其與高級(jí)數(shù)聯(lián)系起來(lái)。 這是高等初等數(shù)學(xué)。 當(dāng)我看到高級(jí)數(shù)的屬性時(shí)，我總是嘗試將其應(yīng)用到初等數(shù)上。 這是高等數(shù)學(xué)中的初等數(shù)學(xué)； 經(jīng)過(guò)一番努力，我們找到了一些滿意的案例。 高等數(shù)學(xué)使初等數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。

本文引用的案例使用行列式來(lái)解決幾何問(wèn)題。 有很多名為“線性代數(shù)”的書(shū)。 從頭到尾都在講空間，但真正將線性代數(shù)與幾何，尤其是平面幾何結(jié)合起來(lái)的書(shū)并不多。 莫雷定理的證明出現(xiàn)在德國(guó)數(shù)學(xué)家克林根貝格的《線性代數(shù)與幾何》一書(shū)中，這在國(guó)內(nèi)許多同名書(shū)籍中是罕見(jiàn)的。 在該書(shū)第三版的序言中，有這樣的觀點(diǎn)：線性代數(shù)本身并不是簡(jiǎn)單的目的，而是作為分析的基本輔助工具，并且首先是為幾何提出的。 這說(shuō)明線性代數(shù)與幾何研究密切相關(guān)。

收集整理這一領(lǐng)域發(fā)展的案例是非常有意義的。 對(duì)于師范生來(lái)說(shuō)，常常會(huì)困惑，以后上中學(xué)時(shí)是否會(huì)用到這么多高等數(shù)學(xué)。 對(duì)于想要提高自己的中學(xué)教師來(lái)說(shuō)，再次拿起大學(xué)教材，讀了幾頁(yè)就感覺(jué)頭暈，感覺(jué)有點(diǎn)，但似乎沒(méi)有直接的效果。 他們迫切需要立竿見(jiàn)影的效果，否則很難堅(jiān)持下去。 有了這方面的案例，師范生和中學(xué)教師就會(huì)更有動(dòng)力、更好地學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)。 不要責(zé)怪大家都這么現(xiàn)實(shí)。 畢竟，能夠達(dá)到歐幾里得思想水平的人還是屈指可數(shù)。

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有何幫助？

這是很多師范生普遍存在的疑問(wèn)。 即使上班了，這個(gè)疑問(wèn)也沒(méi)有消除。

如果一個(gè)普通學(xué)生去問(wèn)他的大學(xué)老師，老師可能會(huì)這樣回答：

深入才能深入淺出，高高在上才能居高臨下。

要給學(xué)生一杯水，老師必須有一桶水。

只有深刻掌握數(shù)學(xué)的思想和方法，認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì)，我們才能胸有成竹、胸有成竹。

在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和教授初等數(shù)學(xué)之后，當(dāng)你遇到一些看似平凡的內(nèi)容時(shí)，你就能看到內(nèi)在的不平凡。 當(dāng)你遇到一些初等數(shù)學(xué)無(wú)法解釋清楚的難題時(shí)，你就能看到本質(zhì)并輕松解決。 這稱為輕松舉起重量。

……

如果一個(gè)正常的學(xué)生問(wèn)：你能舉個(gè)例子嗎？ 為什么我感覺(jué)大學(xué)四年所學(xué)的東西對(duì)我以后的中學(xué)教學(xué)沒(méi)有太大幫助，尤其是偏微分方程、復(fù)變函數(shù)等課程。

這時(shí)，大學(xué)老師往往無(wú)言以對(duì)，大多會(huì)回到以前的原則：“居高臨下，深入淺出……”

講大道理很容易，做細(xì)節(jié)工作卻很難。

事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題由來(lái)已久，并且不僅僅困擾著師范生和中學(xué)教師。 這個(gè)問(wèn)題也引起了很多專(zhuān)家學(xué)者的思考，他們也試圖回答這個(gè)問(wèn)題。

F.克萊因曾提出一個(gè)術(shù)語(yǔ)：雙重遺忘，就是說(shuō)，當(dāng)你在大學(xué)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，你忘記了中學(xué)數(shù)學(xué)，而當(dāng)你畢業(yè)并成為一名中學(xué)教師時(shí)，你又忘記了高等數(shù)學(xué)。

雙忘，這是很多人的感受。 當(dāng)我進(jìn)入大學(xué)時(shí)，我并不覺(jué)得大學(xué)數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)有什么聯(lián)系。 看起來(lái)我是在學(xué)習(xí)新的東西，而不是在以前的基礎(chǔ)上有所改進(jìn)。 擔(dān)任中學(xué)教師后，我所學(xué)的高深數(shù)學(xué)知識(shí)并沒(méi)有多大用處。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，F(xiàn).克萊因?qū)懥恕陡咛幙闯醯葦?shù)學(xué)》，成為數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的經(jīng)典。

此后行列式是什么，類(lèi)似的著作不斷涌現(xiàn)，如張殿周、鄒一新的《現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)》，堪稱代表作。 如果你不糾結(jié)書(shū)名，很多著名作家的熱門(mén)作品都可以算作這一類(lèi)，比如上海教育出版社的《初等數(shù)學(xué)叢書(shū)》、理科大學(xué)的《樹(shù)林外傳》中國(guó)報(bào)社、科技報(bào)等

學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)是一個(gè)很大的話題。 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)是另一個(gè)大課題。 兩者綜合研究涉及面更廣，絕不是兩者的簡(jiǎn)單相加。 這么大的課題，絕對(duì)不是幾個(gè)人通過(guò)發(fā)表幾篇文章、出版幾本書(shū)就能研究清楚的。 需要有人繼續(xù)學(xué)習(xí)，繼續(xù)前進(jìn)。 更重要的是，初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容也在不斷變化。

那么如何研究初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的關(guān)系呢？ 有很多角度。 作為著名數(shù)學(xué)家，F(xiàn)·克萊因憑借深厚的數(shù)學(xué)功底，選擇了居高臨下的視角。 這種研究視角可以讓人們看清一些初等數(shù)學(xué)問(wèn)題的背景，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。 不過(guò)這樣寫(xiě)也存在一些問(wèn)題。 比如貝語(yǔ)網(wǎng)校，在某些問(wèn)題上，作者身高太高，超出了普通讀者的接受能力； 又如，作者主要是以數(shù)學(xué)家的身份來(lái)寫(xiě)這本書(shū)，與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系較少。

我們能否從初等數(shù)學(xué)開(kāi)始，向高等數(shù)學(xué)邁進(jìn)？ 這當(dāng)然也是一個(gè)可以考慮的研究角度。 這也是本書(shū)《從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)》書(shū)名的由來(lái)。

From，表示起點(diǎn)。 表達(dá)你想要前進(jìn)的方向。

有的讀者讀了我這方面的幾篇文章，問(wèn)：“你的研究為什么這么膚淺？你發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題大部分都可以用初等數(shù)學(xué)解決。為什么你不去發(fā)現(xiàn)更多初等數(shù)學(xué)不能解決的問(wèn)題呢？”數(shù)學(xué)？只有這樣才能凸顯高等數(shù)學(xué)的威力?！?優(yōu)點(diǎn)。”

這是因?yàn)檫@位讀者不明白我的寫(xiě)作立場(chǎng)。 我的起點(diǎn)是初等數(shù)學(xué)，希望能邁向高等數(shù)學(xué)，但能達(dá)到什么階段很難說(shuō)。 如果你正在尋找一些初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題，那就太容易了。 高等數(shù)學(xué)有很多問(wèn)題集。 但要找到一些可以從初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的角度思考的話題，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，卻并不容易。

必須承認(rèn)，與《高處看初等數(shù)學(xué)》相比，《從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)》在標(biāo)題上要弱得多。 這方面是由于我的見(jiàn)識(shí)有限，無(wú)法談什么高見(jiàn)。 即使我想鼓起勇氣打個(gè)虛假?gòu)V告，假裝觀點(diǎn)高，恐怕讀者也會(huì)質(zhì)疑：為什么說(shuō)觀點(diǎn)高？ 為什么這么高？ 隱藏自己的卑微行列式是什么，勝過(guò)暴露自己的丑陋，所以，最好誠(chéng)實(shí)。 另一方面，我也受到了Freidenthal的影響。

Freidenthal強(qiáng)調(diào)：為什么縮小中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)之間的差距遲遲沒(méi)有實(shí)現(xiàn)？ 隨著數(shù)學(xué)的社會(huì)重要性不斷增長(zhǎng)，溝通差距的需求也隨之增加。 如果我們今天想要實(shí)現(xiàn)克萊因的想法，“從高的角度教授初等數(shù)學(xué)”，就必須從接近中學(xué)數(shù)學(xué)的較低水平開(kāi)始。

由此可見(jiàn)，高觀點(diǎn)和低起點(diǎn)并不是對(duì)立的。

關(guān)于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的定義，學(xué)術(shù)界尚未有定論。

龔勝先生認(rèn)為：“習(xí)慣上稱微積分為高等數(shù)學(xué)。微積分在牛頓時(shí)代自然就先進(jìn)了，現(xiàn)在看來(lái)只能說(shuō)是數(shù)學(xué)的初步知識(shí)?！?/p>

單燕先生說(shuō)：“其實(shí)高級(jí)研究和基礎(chǔ)研究沒(méi)有什么區(qū)別。得出高級(jí)結(jié)論是一個(gè)新發(fā)現(xiàn)，解決初級(jí)問(wèn)題也是一個(gè)新發(fā)現(xiàn)。都是人類(lèi)走向未知領(lǐng)域?！焙芏嗳藗兪煜さ拇髥?wèn)題，比如費(fèi)馬大定理、哥德巴赫問(wèn)題，它們的起源都屬于初等數(shù)學(xué)。”

在本書(shū)中，認(rèn)為導(dǎo)數(shù)和行列式等知識(shí)的使用被認(rèn)為是高等數(shù)學(xué)，盡管這些知識(shí)已經(jīng)出現(xiàn)在某些領(lǐng)域的中學(xué)教科書(shū)中。

我從大學(xué)時(shí)期就開(kāi)始研究這個(gè)問(wèn)題，主要從以下幾個(gè)角度：

1、對(duì)比初高中教材，檢查每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，思考如何用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)看待；

2、對(duì)比大學(xué)教材，核對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，思考如何與中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)；

3、思考哪些中學(xué)知識(shí)在大學(xué)里用的比較多，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)起什么樣的基礎(chǔ)作用；

4.在解決問(wèn)題的同時(shí)學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)。 找一些問(wèn)題，從初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)兩個(gè)角度來(lái)看。 有的甚至提供多種解決方案進(jìn)行比較。

也有一些關(guān)注點(diǎn)，但是一旦分散，空間比原來(lái)想象的要大很多，所以我最終決定先關(guān)注微積分和線性代數(shù)。 如果以后有機(jī)會(huì)，我會(huì)考慮出續(xù)集甚至系列書(shū)。

雖然我有如此宏偉的想法，但我也知道我不是寫(xiě)這本書(shū)的最佳人選。 我不在中學(xué)教書(shū)，也不教高等數(shù)學(xué)。 我不依賴兩者。 我認(rèn)識(shí)一些做過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)、大學(xué)數(shù)學(xué)研究的朋友，我曾“鼓勵(lì)”他們寫(xiě)這方面的書(shū)，因?yàn)槲艺J(rèn)為他們可以比我做得更好，但他們中的一些人說(shuō)他們很忙，并且有些人說(shuō)他們太忙了。 太自卑了。

說(shuō)實(shí)話，我每次都要找他們，我覺(jué)得很煩。 蜀國(guó)有兩個(gè)和尚。 到了南海，富和尚當(dāng)然有優(yōu)勢(shì)，但最終卻是窮和尚先走。 向別人尋求幫助比向自己尋求幫助更好。 自己動(dòng)手，吃飽穿暖。 我正在嘗試做這個(gè)工作，也算是對(duì)我大學(xué)時(shí)期苦苦思考的這個(gè)問(wèn)題的一種解釋。 也希望能給還在思考這個(gè)問(wèn)題的朋友一些啟發(fā)。

我曾在新浪博客上發(fā)表過(guò)本書(shū)的部分章節(jié)，并得到了讀者的鼓勵(lì)。 他們都期待著這本書(shū)的早日出版，尤其是讀者QQ群（306162497）的朋友彭希成。 他們說(shuō)：早點(diǎn)發(fā)表吧，即使不完美，但你這么努力也不容易。 我相信您的書(shū)的出版一定會(huì)帶動(dòng)這個(gè)話題的研究和相關(guān)書(shū)籍的出版。

安慰的話不太靠譜，我從來(lái)不相信出謀劃策的想法。 否則，你可以做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。 別人扔一塊磚，你真的愿意扔一塊玉嗎？ 玉石出來(lái)是我自己想出來(lái)的，和眼前的磚頭沒(méi)有關(guān)系。

我只能說(shuō)，我盡了最大的努力來(lái)寫(xiě)這本書(shū)，這確實(shí)是一項(xiàng)偉大的成就。 我?guī)缀醢褕D書(shū)館里的10多行微積分和線性代數(shù)題集都看完了。 因?yàn)槲夜虉?zhí)地認(rèn)為，“居高臨下、淺顯易懂”的原則固然沒(méi)有錯(cuò)，但如何操作“居高臨下、深入淺出”卻很少被提及，而且是不清楚。 如果你想真正說(shuō)服別人，你需要具體的案例。 目前好的案例不多，很多都是從書(shū)本上抄來(lái)的。 它們可以被譽(yù)為經(jīng)久不衰的經(jīng)典案例，也可以被嘲笑為毫無(wú)新意的陳詞濫調(diào)。 因此，有必要扎實(shí)地整理一些案例。 和創(chuàng)新研究。

本書(shū)的假設(shè)讀者群為：數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的師范生、剛剛進(jìn)入大學(xué)、對(duì)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不適應(yīng)并希望利用初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生、高中生有學(xué)習(xí)空間的學(xué)生，特別是想?yún)⒓幼灾髡猩膶W(xué)生以及大、中數(shù)學(xué)學(xué)生。 教師，以及廣大數(shù)學(xué)教育研究者和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決研究者。

如果這本書(shū)有一天能成為師范生的教材或中學(xué)教師的培訓(xùn)講義，我將非常高興。

我的老師張敬中老師多次真誠(chéng)地對(duì)我說(shuō)：如果你懂得一點(diǎn)微積分就好了，這樣你就可以做更深入的研究。 可見(jiàn)，在張老師看來(lái)，我根本不懂微積分。 現(xiàn)在已經(jīng)出版了這樣一本書(shū)。 寫(xiě)得有多好，只能由讀者來(lái)評(píng)判。 歡迎讀者批評(píng)指正。

【新書(shū)首發(fā)】從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)·第一卷，彭希成主編。

書(shū)名：從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)·第一卷